這種光位移傳感器的光柵方程為：2dnsinq=ln                                             （1）
    該光柵為不等距光柵，其柵距變化規律為：dn=d00-GXn                                        （2）
式中，Xn―位移；       ―零位柵距（常數）；  G―柵距變化斜率（常數）；       dn―與位移Xn對應的柵距。

    光柵的一級衍射光的出射角也為q，該光束為窄帶光，其中心波長ln的光強度最大[3]。由光譜儀測定出中心波長ln，可按（3）下式計算出光傳感器位移： 

                （3）

    X0 =0時所對應的波長l0為基準波長，柵距和與之對應的中心波長關係為：                     （4）

    變柵距光柵是波長編碼光纖線位移傳感器的核心部件，符合以上要求的變柵距光柵是一種理想光柵。由（3）式可以看出，具有理想光柵的光位移傳感器的位移與中心波長成正比；此外，其工藝誤差為線性分布，測試誤差帶為一常值，這在下麵將會介紹。所有這些，使數據處理十分方便，有利於節省數據處理時間，提高傳感器動態響應頻率。雖然目前國內尚無法采用機刻或其他方法製作出這樣的理想光柵，但國內已能通過借助於台勞級數三次展開式逼近（2）式的方法，采用全息相差較正技術製作不等距光柵。

    用台勞級數三次展開式表達的柵距公式如下：
               （5）

    式中，v―由光柵參數確定的常數。
    為敘述方便，柵距符合（5）式變化規律的光柵，稱為冪級數光柵。
    位移誤差是光位移傳感器的重要技術指標之一，與其他種類線位移傳感器相同，均用線性誤差來表示。其定義為有效工作範圍內實測位移與理論位移的最大偏差與最大行程之比。
    光位移傳感器的位移誤差主要來源於以下四個方麵：由於采用冪級數逼近（2）式，從而產生的原理誤差；由於工藝因素使得入射角度存在偏差，從而產生的工藝誤差；由於測試設備的分辨率影響波長測試值的準確度，從而產生的測試誤差；由於實際柵距數值是不連續的，為求快捷采用方程求解法，從而產生的計算誤差。 

    二、光位移傳感器的位移誤差

    1、原理誤差
   
    采用全息相差校正技術製作變柵矩光柵，需用式（5）所示的台勞級數（即冪級數）展開式逼近柵距公式（2）。
   
    由於工藝原因，目前國內隻能取至3次項。顯然，柵距公式的近似，必然導致柵距分布與（2）式有所差別，若按理想光柵的位移公式（3）計算，將會有位移誤差產生，這種誤差稱為原理誤差。
   
    用冪級數光柵近似理想光柵，所產生的原理誤差如下：
                 （6）
   

 原理誤差曲線如圖2所示。

    2、工藝誤差
   
    加工和裝配中產生的位置偏差，如入射光束與不等距光柵表麵的平行度，運動部件軌道與不等距光柵表麵的平行度以及反光鏡的角度偏差等工藝因素造成的偏差，最終都導致入射角發生偏差。

  （1）對理想光柵產生的工藝誤差
    設入射角發生偏差後為q′，當基準波長l0不變時，由（3）式可知，理想光柵位移將發生變化。
    以入射角發生偏差後的新零點位置作為光位移傳感器的零位，其入射角偏差對理想光柵產生的工藝誤差dxgn為：

                           （7）

    可以看出，工藝誤差符合線性分布規律。

（2）對冪級數光柵產生的工藝誤差
    入射角偏差對冪級數光柵產生的工藝誤差dxmgn如下：
                     （8）

    式中，f(d¢n)―（5）式中求解X¢n所得的函數，其中:

            
    由此可得入射角為q′時，對應d¢n的位移X¢n；
    f(d¢00)―入射角為q′時， d¢00對應的位移函數；
    Xn―理想入射角q時對應dn的位移。
    理想光柵和冪級數光柵工藝誤差曲線如圖3所示。

    圖（3）中曲線1為入射角正偏差對理想光柵產生的工藝誤差，曲線2為入射角負偏差對理想光柵產生的工藝誤差，曲線3為入射角正偏差對冪級數光柵產生的工藝誤差，曲線4為入射角負偏差對冪級數光柵產生的工藝誤差。

    工藝誤差還包括各種因素造成的入射狹縫光線與柵線不平行進而產生的位移誤差，因相對而言影響較小，本文沒有討論。此外，因工藝因素造成的偏差所產生的位移誤差，隻要能較準確測出柵線密度方程，就可將其降低到最小。因此，本文中所說的工藝誤差是指入射角偏差產生的誤差。

    3、測試誤差

    波長編碼光位移傳感器采用理想光柵時，其位移與對應中心波長成正比。由於光譜儀對被測光波長有一定的分辨率，無法指示比分辨率還小的波長變化，所以會產生測試誤差。

  （1）對理想光柵產生的測試誤差
    設用於測量波長的光譜儀分辨率為s=Dl，光譜儀分辨率對理想光柵產生的測試誤差dXC如下：
                            （9）
    可以看出，其測試誤差為一恒定公差帶。

  （2）對冪級數光柵產生的測試誤差
    光譜儀分辨率對冪級數光柵產生的測試誤差dXmcn如下：
                           （10）
    式中，  ―分辨率s=Dl時求解X¢n的函數，其中：

               ；
    f(dn)―理想分辨率s=0時求解Xn的函數。
    其測試誤差帶的上、下限均為非線性變化。

    理想光柵和冪級數光柵測試誤差帶曲線如圖4所示。圖4中曲線1、2為光譜儀分辨率對理想光柵產生的測試誤差帶，曲線3、4為光譜儀分辨率對冪級數光柵產生的測試誤差帶（為顯示非線性特征，未按比例繪製）。

    4、計算誤差

    光柵的柵距是一個數列而不是連續函數，所以，與柵距對應的位移也是一個數列。在數據處理時有兩種方法：一種是計算法，另一種是查表法。計算法是將測得的波長數據直接帶入位移公式按照連續函數進行計算，從而節省數據處理時間，提高光傳感器的動態性能；查表法是將測得的波長數據與預先存入計算機中的波長和位移等成組數據逐一比較，查得相應位移。查表法比計算法花費時間要長，特別是數據量很大的時候。這樣兩種處理數據方法的差別被稱為計算誤差。

    在    柵距較大時計算誤差應考慮，一般情況下計算誤差影響很小，可以忽略。

    三、光位移傳感器位移誤差的補償方法

    1、原理誤差的補償方法

    如前所述，原理誤差是由於采用近似柵距分布函數代替理想柵距分布函數後，仍用理想光柵位移公式計算位移所產生的誤差。如能得到近似柵距分布函數所對應的位移公式，就可消除原理誤差。

    對於前述的冪級數光柵，因為柵距分布函數如（5）式所示，所以，三次方程求解公式就是它的位移公式。因此，把測得的波長ln代入（4）式，計算出對應的柵距dn並代入位移公式，這樣計算的位移就消除了原理誤差。

    然而，若柵距分布函數是高於三次的高次方程，則采用求解公式就過於繁複了。為了消除原理誤差，隻能采用查表法。首先，按（11）式計算正向區間內的柵距條數tz,再按（12）式計算每條柵距所對應的位移。

             （11）

          （12）

    用相同方法計算負向區間內的柵距條數tf和每條柵距所對應的位移Xn。將各柵距及其對應的位移存入數組，以便查表調用。

    2、工藝誤差的補償方法
   
    基準波長l0是設計初設值，以便由它確定光源波長範圍和光譜儀測試範圍。由光柵方程（1）式可知：當d00不變時，通過修正基準波長值可達到改變入射角的目的。
    一般在設計時波長範圍都應留有一定餘量，所以，在波長範圍允許情況下可以將工藝誤差完全補償。在實際入射角q¢測得後，可由（13）式計算基準波長修正值l0¢：

                   (13)

式中，  ―修正係數。

    3、測試誤差的補償方法

    由（9）式可以看出，測試誤差通過以下三個途徑可以得到補償：
    （1）適當增大入射角q；
    （2）適當增大柵距變化斜率G；
    （3）在可能的條件下，提高光譜儀分辨率s。

    四、結論

    通過上述對波長編碼光纖線位移傳感器的位移誤差分析，我們可以得出以下結論：
    （1）波長編碼光纖線位移傳感器采用理想光柵為最佳方案。它具有許多優點，如數據計算量最小，計算方法最簡單，從而使數據處理時間最少；不存在原理誤差；工藝誤差線性對稱分布，便於控製；測試誤差帶與位置無關，為恒定值。
    （2）理論分析表明原理誤差和工藝誤差可以完全消除；測試誤差也可得到部分補償。
    （3）波長編碼光纖線位移傳感器采用近似的冪級數光柵時，雖然原理誤差可以消除，但以增加數據處理時間為代價；工藝誤差可以補償，但殘存的工藝誤差為非線性分布；測試誤差得到部分補償後，其誤差也為非線性分布。