这种光位移传感器的光栅方程为：2dnsinq=ln                                             （1）
    该光栅为不等距光栅，其栅距变化规律为：dn=d00-GXn                                        （2）
式中，Xn—位移；       —零位栅距（常数）；  G—栅距变化斜率（常数）；       dn—与位移Xn对应的栅距。

    光栅的一级衍射光的出射角也为q，该光束为窄带光，其中心波长ln的光强度最大[3]。由光谱仪测定出中心波长ln，可按（3）下式计算出光传感器位移： 

                （3）

    X0 =0时所对应的波长l0为基准波长，栅距和与之对应的中心波长关系为：                     （4）

    变栅距光栅是波长编码光纤线位移传感器的核心部件，符合以上要求的变栅距光栅是一种理想光栅。由（3）式可以看出，具有理想光栅的光位移传感器的位移与中心波长成正比；此外，其工艺误差为线性分布，测试误差带为一常值，这在下面将会介绍。所有这些，使数据处理十分方便，有利于节省数据处理时间，提高传感器动态响应频率。虽然目前国内尚无法采用机刻或其他方法制作出这样的理想光栅，但国内已能通过借助于台劳级数三次展开式逼近（2）式的方法，采用全息相差较正技术制作不等距光栅。

    用台劳级数三次展开式表达的栅距公式如下：
               （5）

    式中，v—由光栅参数确定的常数。
    为叙述方便，栅距符合（5）式变化规律的光栅，称为幂级数光栅。
    位移误差是光位移传感器的重要技术指标之一，与其他种类线位移传感器相同，均用线性误差来表示。其定义为有效工作范围内实测位移与理论位移的最大偏差与最大行程之比。
    光位移传感器的位移误差主要来源于以下四个方面：由于采用幂级数逼近（2）式，从而产生的原理误差；由于工艺因素使得入射角度存在偏差，从而产生的工艺误差；由于测试设备的分辨率影响波长测试值的准确度，从而产生的测试误差；由于实际栅距数值是不连续的，为求快捷采用方程求解法，从而产生的计算误差。 

    二、光位移传感器的位移误差

    1、原理误差
   
    采用全息相差校正技术制作变栅矩光栅，需用式（5）所示的台劳级数（即幂级数）展开式逼近栅距公式（2）。
   
    由于工艺原因，目前国内只能取至3次项。显然，栅距公式的近似，必然导致栅距分布与（2）式有所差别，若按理想光栅的位移公式（3）计算，将会有位移误差产生，这种误差称为原理误差。
   
    用幂级数光栅近似理想光栅，所产生的原理误差如下：
                 （6）
   

 原理误差曲线如图2所示。

    2、工艺误差
   
    加工和装配中产生的位置偏差，如入射光束与不等距光栅表面的平行度，运动部件轨道与不等距光栅表面的平行度以及反光镜的角度偏差等工艺因素造成的偏差，最终都导致入射角发生偏差。

  （1）对理想光栅产生的工艺误差
    设入射角发生偏差后为q′，当基准波长l0不变时，由（3）式可知，理想光栅位移将发生变化。
    以入射角发生偏差后的新零点位置作为光位移传感器的零位，其入射角偏差对理想光栅产生的工艺误差dxgn为：

                           （7）

    可以看出，工艺误差符合线性分布规律。

（2）对幂级数光栅产生的工艺误差
    入射角偏差对幂级数光栅产生的工艺误差dxmgn如下：
                     （8）

    式中，f(d¢n)—（5）式中求解X¢n所得的函数，其中:

            
    由此可得入射角为q′时，对应d¢n的位移X¢n；
    f(d¢00)—入射角为q′时， d¢00对应的位移函数；
    Xn—理想入射角q时对应dn的位移。
    理想光栅和幂级数光栅工艺误差曲线如图3所示。

    图（3）中曲线1为入射角正偏差对理想光栅产生的工艺误差，曲线2为入射角负偏差对理想光栅产生的工艺误差，曲线3为入射角正偏差对幂级数光栅产生的工艺误差，曲线4为入射角负偏差对幂级数光栅产生的工艺误差。

    工艺误差还包括各种因素造成的入射狭缝光线与栅线不平行进而产生的位移误差，因相对而言影响较小，本文没有讨论。此外，因工艺因素造成的偏差所产生的位移误差，只要能较准确测出栅线密度方程，就可将其降低到最小。因此，本文中所说的工艺误差是指入射角偏差产生的误差。

    3、测试误差

    波长编码光位移传感器采用理想光栅时，其位移与对应中心波长成正比。由于光谱仪对被测光波长有一定的分辨率，无法指示比分辨率还小的波长变化，所以会产生测试误差。

  （1）对理想光栅产生的测试误差
    设用于测量波长的光谱仪分辨率为s=Dl，光谱仪分辨率对理想光栅产生的测试误差dXC如下：
                            （9）
    可以看出，其测试误差为一恒定公差带。

  （2）对幂级数光栅产生的测试误差
    光谱仪分辨率对幂级数光栅产生的测试误差dXmcn如下：
                           （10）
    式中，  —分辨率s=Dl时求解X¢n的函数，其中：

               ；
    f(dn)—理想分辨率s=0时求解Xn的函数。
    其测试误差带的上、下限均为非线性变化。

    理想光栅和幂级数光栅测试误差带曲线如图4所示。图4中曲线1、2为光谱仪分辨率对理想光栅产生的测试误差带，曲线3、4为光谱仪分辨率对幂级数光栅产生的测试误差带（为显示非线性特征，未按比例绘制）。

    4、计算误差

    光栅的栅距是一个数列而不是连续函数，所以，与栅距对应的位移也是一个数列。在数据处理时有两种方法：一种是计算法，另一种是查表法。计算法是将测得的波长数据直接带入位移公式按照连续函数进行计算，从而节省数据处理时间，提高光传感器的动态性能；查表法是将测得的波长数据与预先存入计算机中的波长和位移等成组数据逐一比较，查得相应位移。查表法比计算法花费时间要长，特别是数据量很大的时候。这样两种处理数据方法的差别被称为计算误差。

    在    栅距较大时计算误差应考虑，一般情况下计算误差影响很小，可以忽略。

    三、光位移传感器位移误差的补偿方法

    1、原理误差的补偿方法

    如前所述，原理误差是由于采用近似栅距分布函数代替理想栅距分布函数后，仍用理想光栅位移公式计算位移所产生的误差。如能得到近似栅距分布函数所对应的位移公式，就可消除原理误差。

    对于前述的幂级数光栅，因为栅距分布函数如（5）式所示，所以，三次方程求解公式就是它的位移公式。因此，把测得的波长ln代入（4）式，计算出对应的栅距dn并代入位移公式，这样计算的位移就消除了原理误差。

    然而，若栅距分布函数是高于三次的高次方程，则采用求解公式就过于繁复了。为了消除原理误差，只能采用查表法。首先，按（11）式计算正向区间内的栅距条数tz,再按（12）式计算每条栅距所对应的位移。

             （11）

          （12）

    用相同方法计算负向区间内的栅距条数tf和每条栅距所对应的位移Xn。将各栅距及其对应的位移存入数组，以便查表调用。

    2、工艺误差的补偿方法
   
    基准波长l0是设计初设值，以便由它确定光源波长范围和光谱仪测试范围。由光栅方程（1）式可知：当d00不变时，通过修正基准波长值可达到改变入射角的目的。
    一般在设计时波长范围都应留有一定余量，所以，在波长范围允许情况下可以将工艺误差完全补偿。在实际入射角q¢测得后，可由（13）式计算基准波长修正值l0¢：

                   (13)

式中，  —修正系数。

    3、测试误差的补偿方法

    由（9）式可以看出，测试误差通过以下三个途径可以得到补偿：
    （1）适当增大入射角q；
    （2）适当增大栅距变化斜率G；
    （3）在可能的条件下，提高光谱仪分辨率s。

    四、结论

    通过上述对波长编码光纤线位移传感器的位移误差分析，我们可以得出以下结论：
    （1）波长编码光纤线位移传感器采用理想光栅为最佳方案。它具有许多优点，如数据计算量最小，计算方法最简单，从而使数据处理时间最少；不存在原理误差；工艺误差线性对称分布，便于控制；测试误差带与位置无关，为恒定值。
    （2）理论分析表明原理误差和工艺误差可以完全消除；测试误差也可得到部分补偿。
    （3）波长编码光纤线位移传感器采用近似的幂级数光栅时，虽然原理误差可以消除，但以增加数据处理时间为代价；工艺误差可以补偿，但残存的工艺误差为非线性分布；测试误差得到部分补偿后，其误差也为非线性分布。